【正文】

摘要：“”型的最值问题当k取不为1的任意正数时，以常规的轴对称思想是难以解决问题的，而通常以动点P所在图像的不同来分类进行研究。

关键词：胡不归；阿氏圆；压轴题

近年来，以一些古老的数学问题改编的试题屡见不鲜的在各地中考中出现，如将军饮马、高斯取整^[2]、胡不归问题等。波利亚指出：“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展学生的解决问题的能力[i]^[1]”。

    1 问题的提出

“”型的最值问题是近几年各地中考的热点，也是难点。当k值为1时，即“”之和的最值问题，则可用我们常见的“将军饮马”问题解决。当k取不为1的任意正数时，点P在直线上运动（胡不归）和点P在圆（阿氏圆）上运动两种情形^[5]。本文以一些考题为例来赏析研究。

2 有关问题的解决

一、以胡不归为背景考察

胡不归问题动点P在直线上运动，“”中的系数k一般借助三角函数来转换，即构造直角三角形，以一条直角边出现，进而转化为“”之和的最值问题。

例1（2014成都28，有删节）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？

分析：由（1）得直线解析式为：．二次函数解析式为．，，如图，过点作轴于点，过点作轴，易得．过点作于点，则．由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．过点作于点，则，解得，．综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少。

点评：此题的关键是构造，结合上一问对已知条件和已证结论处理，找到条件之间的联系，也可以从结论入手，倒退分析，都是破解这类问题的关键。波利亚指出“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”“掌握数学就意味着善于解题”，怎样才算善于解题呢?就是解题的一般方法即通性通法。培养学生的解题能力不是做很多的题，而是让学生会分析问题，用联系的观点处理关键条件，寻找问题解决的突破口，教会学生“破题”，从“会一个题到会做一片题”才是揭示数学问题。

【变式1】（2017广州24，有删节）一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动，当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．

分析：由①得，作于．易知，点的运动时间，当、、共线时，的值最小，此时是的中位线，．，，，当的长为，点走完全程所需的时间为．

点评：本题的关键是构造，承接第二问，结合已知条件，这种题难点在于构造，学生要能自己理解构造线段，把这种问题转化为“将军饮马”来解决。 在数学解题中，什么是通性通法呢，似乎没有明确的答案。每个人在题目特定的条件下以及经验、思维等方面比较自然的想到的解法，如果说“好成绩”的取得是对通性通法的熟练掌握，那么高分甚至满分的取得一定离不开对解题技巧的熟练驾驭，要形成自己的解题思考，内化为自己的能力。，更多的自然解法不就油然而生了。

二、以阿氏圆为背景考察

阿氏圆问题动点P在圆（阿氏圆）上运动，“”中的系数k一般借助相似比来转换，即构造相似三角形，以相似比出现，转化为其中一个三角形的一边，进而转化为“”之和的最值问题。

例2（2017遵义27，有删节）试求出此旋转过程中，的最小值．

分析：在以为圆心，4为半径的半圆上，由知，，，，此时，，三点共线，．

点评：此题要和“胡不归”问题区别开来。“阿氏圆”中动点是沿圆（半圆）的轨迹运动，构造相似三角形是解决问题的关键。教师认真做题，教师反思自己的做题过程，我是怎么思考的，做题过程中我遇到了哪些障碍？学生在思考过程中会遇到哪些障碍？怎么样讲解才会让学生容易接受。教师眼中有学生，尊重学生的问题需求，巧用错题资源，通过错题驱动，教师引领，甚至这些难题可以让优生来讲，学生和学生的交流可能比和老师更容易接受。“让学生给学生自己做饭吃”，“教师下题海，学生荡轻舟”，教师心中有数，课堂放手让学生展示。

【变式2】（2017兰州28，有删节）以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．

分析：（3）设交于，取的中点，，连接交于，连接，，

，，

，，，设点，，，，，或（由于，所以舍去），，，，即：．

点评：数学离不开做题，很多学生平时做了大量练习，似曾相识的题在考试中学生解答的结果仍不理想，类似题出错率很高，改错了下次还是错，学生经常性遗忘。主要原因是练习题目杂乱，缺少针对性，做错的题没有找到错因，没有进行归类；缺乏对试题的改编和变通，学生往往是原题会做，变化条件或者结论就束手无策，解题能力实质没有得到提高。教师在平时练习时要给学生一些开放性的题目，可以尝试对试题条件开放，或者对试题结论开放，没有给出条件或条件不完全，要解题者自行分析探索使结论成立时需要的条件，往往有多种备选方案；或者给出命题的条件，探索相应的结论的“存在性”需要解题者进行分类推断等等。“授人以渔不如授人以渔场”。“鱼”是知识，“渔”即方法，“渔场”就是学习环境。有深度的练习对提高学生的解题是很有必要的。

3 我的教学反思

（一）教师要选好题，要讲透题，教会学生方法

数学教学离不开解题教学，解题教学走向高效的一个途径就是认真选取典型问题，精讲精练，典型几何模型的提炼，充分理解题目，会挖掘条件会破题是关键，这样才会实现“做一题，会一题，通一片”的解题效果。教师应该教给学生通性通法即程序化解题步骤，如卜以楼提出的“做什么、怎么做、干干看、回头看”等，让学生知道解题的一般步骤，有条理的进行思考。教师要“授人以渔同时要授人以渔场”，给学生“渔场”，让学生通过教师对题目的开放及改编，让学生学会解题。

（二）教师注重课堂生成，以学生为本

“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”要敢于放手，让学生给学生自己做饭吃。对有针对性的题目预计讲出什么样的效果和深度，从而引导学生，让学生主动参与，关注堂生成。而不是教师简单的讲授，应该更多的激励和唤醒学生热爱学习、热爱数学学习的兴趣，让学习深度发生，解题课应变成学生思维碰撞和展示的舞台。让优生眉开眼笑信心十足，让差生“挠头惋惜”，这样的讲评课一定会是热闹有深度思考每个人有收获的。

4结束语

章建跃博士指出：教学设计能力是教师专业水平和教学能力的关键，其本质是“理解数学，理解学生，理解教学的水平和能力”^[3]，课堂教学归根结底还是应该落实在自己课堂教学中，教师都应眼中有学生，把学生真正当成课堂的主人。

参考文献:

[1]波利亚.如何解题[M]．吉林：吉林教育出版社，1985：（5）.

[2]董永春，与高斯函数有关的高考压轴题[J]．数学通讯，2012，（11-12）（44-46）.

[3]章建跃.全面深化数学课改的几个关键[J]课程•教材教法．2015，（5）（76-80）.