【正文】摘   要：在高中数学教学中，渗透分类讨论的思想、函数与方程思想、化归与转化的思想、数形结合思想这4种数学思想方法，能培养学生的思维能力，优化学生的思维品质，加强对数学规律的理性认识，激发学习兴趣，提高学习效率，掌握解题的基本技能，培养学生的动态思维，回归数学教育的本质。
　　关键词：数学思想方法、高中数学教学、渗透
　　数学思想方法的教学，既有提高教学质量的近期效果，也具有全面提高人的素质的远期效果，教学大纲规定高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想方法是高中数学中的基本知识，数学思想方法是对数学规律的理性认识，它具有概括性和本质性。中学数学教学中主要的数学思想方法有：分类讨论的思想、函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，大纲将数学思想方法的学习列入了基础知识的范畴，这能有效加强数学素质教育，数学方法和数学思想的传授要注重系统的归纳和总结，要充分的讲解和讨论，这样才能让学生掌握基本技能，形成思路，激发学生学习兴趣，从而提高学习效率，回归数学教育的本质。因此数学老师在传授知识的同时，一定明确、恰当地讲解与渗透数学思想方法。
　　一、分类讨论思想，分类讨论是一种依据数学对象本质属性的差异和相同点，将所讨论的数学对象分为不同种类，然后再分类加以解决的思想方法。
　　其基本策略是将一个比较复杂的问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现对原问题的解答，分类讨论具有明显的逻辑性、综合性、探索性等特点，能体现一个人的数学能力，同时也能考查一个人的数学潜质，在教学中，运用分类讨论的思想方法解决数学问题，应把握三个关键，第一对谁讨论，明确讨论的对象，确定讨论对象的全域；第二为何讨论，弄清讨论的原因，才能正确地确定分类的标准，科学地分类；第三如何讨论，采取什么样的方式方法来对被讨论的对象进行讨论。分类讨论可以按照以下步骤进行：①确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论；②对所讨论的对象进行合理的分类；③逐类讨论，获得阶段性答案。将各类情况归纳总结。同时必须注意分类时要做到标准统一，防漏求全，各类互斥，对所分类依次进行讨论时要注意逐级进行。
　　例：已知点A（0，5）及圆C：(x+2)2+(y-6)2=16，若直线过A被圆C截得的线段长为4■，求直线l的方程。
　　学生惯性解法：设直线l的斜率为K，则l方程为y=kx+5，与圆(x+2)2+(y-6)2=16联立消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0①，设方程①的两根为x1，x2，有x1+x2=■，x1x2=-■由弦长公式得■.■=4■，解得k=■，所以直线方程为3x-4y+20=0。
　　解法点评：此题是解析几何中常见的直线和圆的问题，上面解法看似都无问题，但忽略了对直线进行分类讨论，应分为直线的斜率存在和直线的斜率不存在两类情况进行讨论。正确解答应是：①当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，由上解可知直线l的方程为3x-4y+20=0。；②当直线l的斜率不存在时，此时直线的方程为x=0。故直线l的方程为3x-4y+20=0或x=0。
　　二、函数与方程思想。
　　函数描述量与量之间在某一过程中的关系，函数思想是用变化的观点抽象出数学对象及其特征，建立各变量之间的函数关系，然后利用函数相关性质（奇偶性、周期性、图像、最值、单调性）来解决问题。方程的思想，就是通过分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，运用方程的性质去分析、转化、解决问题。函数与方程的联系主要有两个方面，第一方面，函数与方程是可以互相转化的，解方程f(x)=g(x)的解就是函数y=f与y=f(x)图象的交点的横坐标的解。第二方面，函数思想在于揭示问题的数量关系的本质特征，运用函数思想解题，着重是对问题中变量的动态研究，从变量的变化、联系的角度找到解题的方法，而方程思想则是研究运动中的等量关系，函数思想与方程思想常常是相辅相成的。
　　例：已知■+1=0(a,b,c∈R)，则以下正确的是  （  ）
　　（A） b2>4ac (B) b2?莛ac (C) b2 <4ac (D) b2?荞ac
　　分析：通过观察以上4个选项，可以发现不等式的形式类似于△与0的关系，可以利用函数与方程的思想，构造一元二次方程或函数。
　　解法一：■+1=0可化简为b2=5a2+2ac+■，因为b2=2ac+(5a2+■)?莛2ac+2x■ax■=4ac，故选B项。
　　解法二：■+1=0可化简为5a-■b+c=0：，所以■是一元二次方程ax2-bx+c=0的一个实根（构造方程）有△=b2-4ac?莛0即b2?莛4ac，所以选B。
　　点评：解法一转化为是的函数，运用均值不等式，思路清晰；解法二通过简单转化，抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得很好的解决。
　　三、化归与转化思想是指在研究数学问题时，通过采取某种手段与方法将问题从一种数学情景转化到另一种情景，从而使问题在新情景下得到解决的一种解题方法。
　　化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，一般情况是将未解决的问题化归转化为已解决的问题。在教学中要求学生熟悉掌握化归与转化的各种变换方法，有意识地运用数学变换的方法灵活解决有关的数学问题，高中数学主要有特殊与一般的转化，等与不等的转化，正与反的相互转化，常量与变量相互转化，数与形的转化等，运用化归与转化的思想解题应把握好三个关键：①明确化归对象，对什么问题转化；②认清化归目标，即化归到什么地方；③把握化归方法。因此在解题时，如果能够将问题转化为我们熟悉而且相对简洁的方法上来，将会很大程度地提高解题速度。
　　例：如果不等式■?荞k(x+2)-■的解集为区间［a,b］，且b-a=2，则k=______。
　　转化途径：可以将不等式两边看成两个函数，f(x)=■，g(x)=k(x+2)-■，在同一坐标系内画出两个函数图象，再比较两个图象的位置，实现数与形的转化。
分析：设f(x)=■，g(x)=K(x+2)-■，可知g(x)是过点）A(-2,-■)的直线，f(x)是以（0，0）为圆心，半径为3的上半圆，函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的上方，由图可知
b=3，因为b-a=2，得a=1，即方程■=K(x+2)-■的一个根是x=1，即■=K(1+2)-■解得K=■。
　　点评：本题是数与形相互转化问题，通过数量特征，构造出相应的函数图象（或曲线、几何图形），将数的问题（如解方程、解不等式、求取值范围等）与某些图形结合起来，辅助简单计算，确定答案。
　　四、数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种数学思想。
　　在数学教学中常发现学生对于数（函数、实数、复数、方程、不等式等）的理解比较抽象。某些问题单纯从数的角度来解答比较困难，如果能作出数对应的图形，则抽象的数和数之间的关系会比较直观，便于发现和解决问题，数与形的基本关系是“以数辅形，以形助数”，二者需要紧密结合，实现数形结合的基本依据主要有①函数与图象的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③实数与数轴上的点的对应关系；④所给代数式的几何意义，如■表示(a,b)和(x,y)两点间的距离，■表示过点(a,b)和(x,y)点的直线的斜率；⑤有几何背景的概念，如向量、三角函数、圆锥曲线、圆、复数等。运用数形结合思想解题的类型及思维方法主要有：①“由数代形”就是根据题设条件正确绘制相应图形，让图形充分反映出它们相应的数量关系，揭示出数与式的本质特征；②“由形代数”就是借助所给的图形，仔细观察研究，揭示图形中的数量关系，反映几何图形内在属性；③“数形转换”是根据“数”与“形”的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，将它们相互转换，化抽象为直观并揭示出隐含的数量关系。
　　例：函数y=■(0?荞x?荞?仔)的值域是 _______ 。
　　分析：■可看作动点M(cosx,sinx)与A(2,2)定点的连线的斜率，当0?荞x?荞?仔时，点M的轨迹为圆的一半x2+y2=1(y?莛0)，点B（1，0），则直线AB的斜率为KAB=2，设直线AC与上半圆切于点C，易知直线AC的斜率存在，设直线AC的方程为y-2=Kac(x-2)，因为与圆相x2+y2=1切知：■=1          ，解得 KAC=■ ，由图可知KAC<KAB ，所KAC=■，故所求函数的值域为■,2
　　点评：许多数学问题既要借助于“形”的直观，同时又离不开“数”的刻划，数形互助，在教学中指导学生运用数形结合思想，充分体现“数”与“形”之间相互联系，相互转化。
　　数学思想方法和基础知识是数学结构中两个强有力的支柱，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，数形结合的思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，而反证法、待定系数法、构造法、分析法、换元法都是转化的手段。在平时的高中数学中应从方法论的高度讲解数学思想方法，有计划，有系统地进行强化训练，培养学生独立思考的能力，有效掌握解题的技巧；让学生在学会数学知识的同时领悟相关的数学思想方法，能使学生的认识达到质的飞跃，优化学生的思维品质，使学生终身受益。
        参考文献：
　　1.戴丽萍.中学数学思想方法的教学，上海教育出版社，1999年。
　　2.张奠宙等.数学方法论稿，上海教育出版社，1996年。