【正文】摘要：主要论述怎样用辨证思维研究和解决问题。一方面是辨证思维转化的策略：已知与未知、一般与特殊、正面与反面等矛盾的巧妙转化；另一方面是辨证思维转化的途径：从发散思维和逆向思维寻求转化。各举例论证，解题无比简便，充分体现了矛盾转化的魅力。
关键词：辨证思维转化的策略与途径

　　数学充满着矛盾、运动和变化，体现了唯物辩证法的思想，结合数学内容对学生进行思想教育，是中学数学教学大纲的一项重要任务，中学数学教学大纲中代数部分的教学要求就有规定“使学生了解已知与未知、一般与特殊、正与负、等与不等、常量与变量等辨证关系以及反映在函数概念中的运动观点，了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点……，对学生进行思想教育”。因此，教师在数学教学中应充分利用教材的有关内容，对学生进行生动而又深刻的辩证法唯物思想教育，使学生在学习中反复体验事物的现象和本质、绝对和相对、静止和运动、特殊和一般、量变和质变、对立和统一等辨证关系，学会用辨证唯物主义观点去观察分析事物，研究和解决问题，为学生逐步确立辨证唯物主义世界观奠定基础。这样做不仅可以达到思想教育的目的，而且对数学知识教育和能力培养也有着积极的意义。
　　下面就怎样对辨证思维转化的策略和途径浅谈几点看法。
一、 转化的策略
　　（1）从部分到整体的转化
　　解答某些数学问题时，如果我们孤立地看待题中的各个局部，“只见树木，不见森林”，拘泥于常规思维方法进行思考，往往难以找到解决问题的方法。又若是涉及到复杂的计算与烦琐的讨论，往往先不考虑其细节而是从整体上入手，反而思路豁然开朗，发现解决问题捷径。
　　试举几例
　　例1 设a-b=2+，b-c=2-,求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。
　　分析与略解：若按常规，先求a、b、c的值，再代如原式计算，但因已知条件是两个方程三个未知数无法求解。若不管a、b、c各自的值，将已知条件作为整体考虑，由已知条件联想到a-c=(a-b)+(b-c)=4，进而将所求代数式表示成已知条件整体的表达式，就比较容易求解了：
　　
　　=
　　=。
　　例2 三棱锥的三个侧面两两互相垂直，这三个侧面积分别是6㎡，9㎡，12㎡，求它的体积。
　　分析：设三个侧棱长分别是米，米，米，
　　∵ 三个侧面两两相互垂直，
　　 ∴ 三个侧棱也互相垂直。
　　易得  ，
　　由已知  ，，，
　　将上述三个方程两边分别相乘得，
　　∴ ，
　　这里无须求出的值，只需求出整体。
　　（2）数与形的相互转化
　　数学里的“数”与“形”这一对矛盾既统一又斗争，在坐标系建立的条件下实现了关于“数”与“形”的问题互相转化，几何问题可以用代数方法来求解，一些代数问题也可以化为几何问题来研究。数形结合，以形揭数问题研究数学命题的一种典型思想方法。数形相互印证，是寻求解题方法的有效途径。
　　例3：求函数的最小值。
　　分析与略解：若将看作是动点与点间的距离；看作点与两点间的距离（如图），于是问题就能转化成求动点
与两定点、的距离
之和的最小值问题。由图象
直观知，当（关于轴的对称点）、
、三点一线上时，最小，
即有最小值，
　　。
　　由此可见，抽象问题若能转化成图形，则思路和方法就可能从图形中直观地显示出来。
　　另一方面，对某些几何问题若考虑代数证法，反而简便。
　　例4 如图：已知：C是以AB为直径的半圆周上任意一点，CD⊥AB于D，⊙O与CD相切于E，与弧BC相切于F，与AB相切于G。求证：AC=AG。
　　　分析与略证：由于AC与
AG之间没有直接联系，用几何
证法较困难，考虑用代数证法寻
求它们之间的数量关系。关键在
于求AG。图中易见AG=AD+DG或
AG=AO1+ O1G。连结O1F，∵⊙O与⊙O1相切于F，∴O在O1F上。设⊙O与⊙O1的半径分别为r与r1，r＜r1。连结OG，又设AC=，AG=。∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴Rt△ABC中AC2=AD·AB=（AG-DG）·AB，
　　即   ……………○1
　　在Rt△O1OG中，O1G2=OO21-OG2，
　　即
　　整理得  ……………………○2
　　由○1、○2得。
　　∴，即AC=AG。
　　（3）从特殊到一般的转化
　　在解决数学问题时，根据“个别一定与一般相联而存在”这一规律，视具体情况，灵活将特殊与一般互易；当一般性的问题比其特殊性的问题易解决时，可先解决其一般性的问题，从而导致特殊性的问题的解决；反之，在一般性的问题不易解决时，又可先退到其特殊的情形去考虑，从而找到解决一般性问题的思路。
　　例5 ：Rt△ABC的三边为、、，为斜边，试证＞（≥3）。
　　分析与略证：面对＞，一时难以下手，先退到它的最特殊情况时考虑，有。进而考虑，显然＞。由此推导一般：＞。
　　（4）从正面到反面的转化
　　某些问题，若正面求解比较困难，则可从反面来考虑，往往能达到柳暗花明又一村之境界。
　　例6 为何值时三个方程：
　　；
　　；
　　
　　至少有一个方程有实数根。
　　分析与略解：若从正面考虑，可能的情况比较复杂，远不如考虑它的反面“三个方程都无实根”来得简单。故可用反证法思想。
　　设三个方程都无实根，则有： 
　　　＜0
　　　＜0
　　　＞0
　　此不等式组的解为-3＜＜-1。
　　这就是说当-3＜＜-1时，三个方程都无实根，因此，≤-3或≥-1即为原三个方程至少有实数根时的取值范围。
　　（5）变复杂为简单的转化
　　任何复杂的数学问题都是由简单的问题构成的，在教学中要善于引导学生把复杂的问题转化为简单的问题。
　　1．分解：把一个复杂的问题分解在若干个简单的问题，然后各个击破。
　　例7：证明“在一个圆中，圆周角的度数等于同弧所对圆心角度数的一半。”
　　
　　　分析：把命题的证明
化为三个简单的问题：
○1圆周角的一条边通过圆心；
○2圆心在圆周角内；
○3圆心在圆周角外。
○1为特殊情况，如图因为OA=OC，所以∠BAC=∠BOC，上述命题成立。○2、○3都可以转化为圆周角的一条过通过圆心的情况加以解决。
　　2． 代换：把一般性问题转化为特殊问题，使其变复杂为简单，代换思想的具体运用就是换元法。
　　例8：因式分解
　　分析：设，利用换元法培养思维的变通性。
　　
　　例9：证明方程的一个根大于，另一个根小于。
　　证明：设，原方程变形为，∴＞0，∴  此方程有两实根，设为，，则，为原方程的两根。
　　∵＜0
　　    ＜0            ＜
　　∴            即
　　　　＞0            ＞
　　    
　　　　＞0            ＞
　　或            即
　　　　＜0            ＜
　　通过换元，使证明的过程简单化。
　　3．缩减：通过缩减把多变为少，人而使复杂的问题转化为简单的问题。利用消元法使多个方程组成的方程组的未知数个数逐步减少，方程的个数也随之减少；使繁分式变为一般分式；使多重根式变为单重根式；使多重对数变为单重对数，等等，都是通过缩减的思想方法加以解决的。
　　二、辨证思维的转化途径
　　（1）从发散思维中寻求转化
　　在解题教学中，一题多解的训练，可使学生多思路多角度解题，从而培养学生发散思维能力，提高转化能力。
　　例10：解方程组
　　思路1：用换元法，设，，原方程组变为，然后解之。
　　思路2：用配方、代入法：由○1得，，
　　∴，然后与○2联立，用代入法解。
　　思路3：利用韦达定理，由原方程得
　　，由韦达定理知，、为一元二次方程的二根。
　　还可以举出其他多种思路。
　　发散思维，不仅仅是表现为一题多解，在教学中，对例题、习题的形式（条件和结论）不断地变化，也可以克服思维定势，使学生从多角度考虑问题，从而培养学生的转化能力。
　　例11：若、、是△ABC的三边且满足，求证：△ABC是等边三角形。
　　这是一道常见的数学题，应用配方法和非负数的性质可证。
　　若把例子中的条件的两边乘以，则有：
　　问题2：若、、是△ABC的三边，且，求证：△ABC是等边三角形。
　　若把例子中的条件看作某个一元二次方程的判别式而得到的，则有：
　　问题3：若是△ABC的三边且方程
　　有二等根，求证：△ABC是等边三角形。
　　若联系正弦定理，例子中的条件可转化为：
　　问题4：若A、B、C是△ABC的三个内角，且满足sin2A+sin2B+ sin2C-sinAsinB- sinBsinC- sinAsinC=0,
　　求证：△ABC是等边三角形。
　　（2）从逆向思维中寻求转化
　　在教学中，对学生经常进行“从反面思考问题”的训练，可以寻求转化。
　　例12：试求常数的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分。
　　分析：“不能”的反面是“能”，垂直平分的弦就是曲线上两点关于直线对称的问题，那么此题可转化为：为使曲线存在两个对称于直线的点，求存在的范围。
　　解：抛物线上两点（，）、（，）关于直线对称，满足
　　　
　　　
　　∴
     消去得
　　∵，
　　∴＞0，
　　∴＜0，
　　得到＜，抛物线上存在两点关于直线对称，而原题中要求所有弦都不能被直线垂直平发，那么≥。
　　在数学中，公式的逆用及其引伸，是转化的又一种表现形式。
　　例如公式，它给出了（和）、（积）与（平方和）三者之间相互转化关系，即
　　     ○1
　　  ○2
　　例13：已知，，求。
　　解：由○1可得，，由○2可得，于是
　　
　　
　　
　　教学每一个新数学知识，学生面临着不知与知的矛盾，我们要善于引导学生把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
　　○1利用各对矛盾进行转化。教学中，为使学生容易接受新知，往往先让掌握矛盾的某一方面，再去探讨另一方面，使它向学生熟悉的前者转化。
　　在教学有理数的运算时，其思想方法是：当引进了绝对值的概念，并掌握了有理数运算结果的性质符号以后，有理数运算就转化为熟悉的算术运算。
　　研究一种运算的逆运算是使之向其正运算转化。解决对数问题，把它转化为正运算——乘方问题，转化的关键是乘方式子与对数式子互写，即logaN。
　　函数与它的反函数互为反函数，所以函数的反函数仍然是原来的函数，体现了对立面的互相转化，从而使学生深刻地认识反函数与原来的函数的关系。
　　○2分析已知与未知进行转化。已知与未知一方面界线分明，相互对立；另一方面又相互联系，可以转化。
　　未知数参与运算，使算术发展为代数，已知数与未知数，其个性是“已知”和“未知”，其共性是“数”，在算术中只强调个性，仅允许已知数参与运算，未知数则处于被动地位，等待从已知数的运算得到它的值，而代数中，注意了共性，认为都是可以参加运算的数，揭示已知与未知的本质联系，列出关系式能较快地达到目的。从未知出发，寻求已知与未知的关系，是中学数学中常用的执果索因分析法，数学问题的解决，一般是从已知到未知，但是这个推算过程难以确定从何着手，我们把顺序颠倒，寻求未知到已知的转化过程，再得出从已知到未知的正确结论。
　　○3利用数学的变量化换问题进行转化，在解难题教学中，若创造条件将已知与未知互相转换位置，往往能突破难点，使问题解决得简捷漂亮。