【正文】摘   要：高考试题是课本例题的扩展或延伸，课本例题的教学或学习对于高考至关重要，课本例题是该章或该节知识的具体反映。因此对于总结归纳书本上的例题是我们平时教学或学习中的重要事情，对于培养学生的创造思维和归纳总结能力是很有好处的。
　　关键词：课本例题   应用与归纳
　　高考数学考试的重点是考查学生应用课本知识分析问题的方法和解决问题的能力，命题尽量避免刻板、繁难和偏怪的试题，考纲也规定了试题应“源于书本，高于书本”。因此对书本知识的学习显得尤其重要，然而很多同学平时不重视书本知识学习，整天在参考书里摸扒滚打，搞一些偏难怪的题目，可一到考试时却手忙脚乱，看到考题似曾相识，结果却做不出来，其实高考数学试题很多题都源于书本知识，特别课本上一些重点例题，很多高考试题都直接或间接由这些例题变化及扩展而来。人民教育出版社原高中《数学》（下）第43页例5就多次直接或间接应用到高考的解题中。它与人民教育出版社课程标准试验教材高中《数学》必修四第140页例3有点类似，一个题目是证明，一个题目是求周期和最值。下面就此类题目的运用进行简单研究。
　　（1）人民教育出版社原高中《数学》（下）第43页例5：求证cos α + sin α = 2sin(α + )。
　　该题的证明过程是很容易的，只要把异名三角函数化为同名三角函数就可以了，即对a sin α + b cos α =sin( α + )的灵活应用(这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定)。
　　该例题只需把左边的异名三角函数化成右边的同名三角函数即可，故要想方设法凑出一个角（辅助角）的正弦值和余弦值，再结合和（差）角公式的逆用即可得到;准确说是和差的正、余弦展开式的逆用。
　　即用辅助角知识：a sin α + b cos α =（sin α +cos α）
　　由于（  ）+（   ）= 1，
　　所以a、若令sin=，cos=
　　故a sin α + b cos α =(sinαsin+ cos αcos)
　　 =cos(α -  )
　　b、若令cos=，sin=
　　则a sin α + b cos α =(sinαcos+ cos α sin)
　　=sin(α + )
　　（2）人民教育出版社课程标准试验教材高中《数学》必修四第140页例3:
求函数y = sin x +cos x的周期，最大值和最小值。
　　（3）很多高考试题和平时训练题都直接和间接利用（1）、（2）两种化归结果（凑出sin和cos）把异名三角函数化成同名三角函数，然后才能利用同名三角函数求各个类型题目。人民教育出版社课程标准试验教材高中《数学》必修四第140页例3，也必须先化成同名三角函数后才能进行各种运算。现将此类与辅助角解决问题相关的题型归纳总结如下：
　　1、三角函数的化简
　　化简型题目是将（1）、（2）结论中左边保留（保留左边的异名三角函数），让学生利用辅助角知识化成（1）、（2）右边的部分（即化成同名三角函数），到底化成（1）还是（2）右边的部分，主要根据题目的具体要求而定。
　　题目1：化简cosx -sinx
　　解：（1）该题若令sin=  ，cos=
　　则：cosx -sinx = sin  cosx - cos  sin
x= sin(  - x)
　　（2）该题若令cos=   ,sin=
　　则：cosx -  sinx =cos  cosx - sin  sinx
　　=cos(+ x )
　　评析：这类题目是很简单的类型，学生只需把sinx、cosx前面的常数变形转化成某一辅助角的正弦值和余弦值即可化简成（1）、（2）右边的形式。
　　2、求三角函数的值
　　题目2：求值sin(x +  ) + 2sin(x -  ) -  cos(  - x)
        解：sin(x +  ) + 2sin(x -  ) - cos(  - x)
        = sin(x +  ) + 2sin(x -  ) +cos(x +  )
        =【sin(x +  ) +cos(x + )】+ 2sin(x - )
        = 2【sin(x + ) +  cos(x + )】 + 2sin(x - )
　　=2sin(x + ) + 2sin(x - )
　　=2 sin( - x ) + 2sin(x - )
 　　= 0
　　评析：三角函数求值要先化简，本题的第三步就利用a sin α + b cos α =sin( α +  )将异名三角函数化为同名三角函数的。
　　3、求三角函数的值域
        高考中若遇三角函数求值域型题目，基本要先利用三角函数辅助角公式把异名三角函数划成同名三角函数，然后利用三角函数的有界性求值域，最后利用不等式的相关知识解不等式即可。
        题目3：求函数y= 3 sinx + 3 cosx的值域。
 　　解：y=3sinx + 3cosx
　　=3(sinx + cosx )
         =3×2(sinx +cosx)
         =6(sinxcos + cosxsin)
         =6sin(x -  )
        ︳sin(x -   )︳≤1
        故 ︳6sin(x -  )︳≤6
　　则：- 6≤y≤6
         所以y的值域为[- 6, 6]
         题目4：求函数y=的值域。
         解：因为cosx[- 1，1]，所以2 + cosx0,故x
        所以把y=写成2y + ycosx = 1+ sinx，则sinx – ycosx = 2y – 1
        由a sin α + b cos α =sin( α +  )知：sin(x +  )=2y- 1
        (此时cos= ，sin=)，所以sin( x +)=
        而︳sin(x + )︳≤1，故︳︳≤1
        所以解得：0≤y≤
         所以函数y=的值域为y[0， ]。
　　评析：求此类三角函数值域型问题，如果不能把异名三角函数化成同名三角函数，就不能利用三角函数的有界性求值域，所以解题过程中要用到a sin α + b cos α =sin( α + )将异名三角函数化为同名三角函数来求解。
 　　4、求三角函数的最值
　　题目5：求函数f(x)=   (1-  )sin(x -   ) – cos(x +  )的最大值。
　　解：f(x)=(1-   )sin(x -  ) – cos(x +  )
　　=(1 -   )sin(x -  ) – cos【(x -  )+  】
　　=sin(x -   ) -sin(x -   ) –cos   cos(x -   ) +sin(x -  )sin
 　　=【sin(x -  ) - cos(x -   )】
 　　=sin(x -   )
         故由正弦三角函数的有界性即求得它的最大值为。
　　评析：此类题目首先化角，然后利用辅助角的相关知识化异名为同名三角函数即可。
        5、求三角函数的周期
        题目6：求函数f(x)=- sinxcosx -  +  的周期。
        解：f(x)= -sin2x -(1 + cos2x)+
     　   =  -  sin2x -  cos2x
　　    =sin(2x +  ).
         所以f(x)的周期为T=
        评析：此类题目只须利用辅助角知识化异名为同名三角函数即可。
 　　6、求三角函数的单调区间
 　　题目7：求函数f(x)= + 2 sinxcosx - 在[0,]上的单调递增区间。
        解：f(x)=   + 2sinxcosx -
         =( - ) +sin2x
         =(   -  )(   +   ) +sin2x
         =sin2x – cos2x
         =2sin(2x -)
        所以该函数的增区间为：2K  -   ≤2x -   ≤2K+，解得：
　　K  -≤x≤K   + (K)
        故当K=0，1时，即可得在[0,  ]上的单调递增区间为[0， ]和[ ，]
        评析：该题有，sinxcosx三项，既有正弦，还有余弦，也有高次和低次，故先降次，其次升角，然后化异名三角函数为同名三角函数，最后根据三角函数在各个区间上的增减性即可解出。
        7、求三角函数的参数问题
　　题目8：已知函数  的定义域为，值域为[  －5，1 ]，求参数a、b的值．
　　解：
       当a> 0时，b≤f(x)≤3a+b，
       ∴解得
　　当a< 0时，3a+b≤f(x)≤b．
       ∴解得
        故a、b的值为  或
　　评析：此题首先是把表达式中的角统一化为二倍角、函数名称统一化为余弦，然后根据定义域和值域是它的要素，确定表达式中的参数值，需注意参数变化对值域的影响，这也是高考常考的题型。
　　通过以上概述，笔者认为老师应围绕书本：讲书本知识、讲书本例题、讲书本练习、讲书本习题，特别讲书本上的例题，达到拓展的目的；学生应围绕书本：学书本知识、学书本例题、学书本练习、学书本习题，特别是对书本上的例题应熟练掌握，适当加以变换，多角度、多层次理解课本知识，达到以点带面的学习目的，也达到把薄书读厚的目的，这样对培养每位学子的高考解题能力和解题技巧是有益无害的。